…no debes usar más dígitos (o cifras) que los significativos

Antonio Moreno Calvo
Ingeniero de Telecomunicación
Presidente del Comité de Metrología del Instituto de la Ingeniería de España (IIE)

Al expresar el resultado de una medición; por ejemplo, masa m = (100,021 47 ± 0,000 35) g, se utilizan tres entidades:

•           Un número, que es el valor de la magnitud medida, generalmente con parte entera y parte decimal: 100,021 47
•           Una incertidumbre, que es otro número, y también generalmente con parte entera y parte decimal: 0,000 35
•           El símbolo de la unidad correspondiente a la magnitud medida: g

Pues bien, empecemos por la

incertidumbre. ¿Cuantas cifras significativas deben aparecer? En el contexto de la Metrología, este asunto está relacionado con los conceptos de precisión y exactitud. Ver nota precautoria al final del artículo.

Este tema se encuentra desarrollado suficientemente (en su vertiente matemática) en las páginas web accesibles desde Internet. Aquí se va a tratar el tema en el contexto de la Metrología.

Se definen como cifras significativas aquellas que proporcionan información relevante sobre la valoración (en este primer caso) de la incertidumbre. Así, en el sistema de numeración de base 10 que es el de uso común, las cifras que, en principio pueden ser significativas, son aquellas menores que la base, excluyendo el cero.

A partir de esta definición, se pueden establecer reglas de aplicación. Así:

            R1.-     Cuando el número carece de ceros, todas las cifras son significativas.

            R2.-     Cuando existen ceros en el número, pero están situados entre cifras distintas de ceros, esos ceros intermedios sí son significativos.

            R3.-     Cuando existen ceros (o incluso un único cero) a la izquierda de la primera cifra distinta de cero, esos ceros no son significativos, o bien porque no son necesarios o porque sólo sirven para fijar la posición del primer dígito distinto de cero tras la coma (o el punto) decimal, lo que puede subsanarse usando notación científica.

            R4.-     Cuando existen ceros a la derecha de la última cifra distinta de cero, se pueden presentar dos casos:

                        4.1.-     Que el número carezca de parte decimal, en cuyo caso, tratándose de un número entero, el cero es significativo, porque aporta información respecto a la magnitud de ese número. Pero si el número se expresa en notación científica, los ceros referidos no aportan información, y por lo tanto no son significativos.

                                                Ejemplo: Si el número es 1230, el cero final aporta información relevante: no es lo mismo 123 que 1230. Pero si el número se expresa en notación científica (1,23 x 10³), ha desaparecido el cero, porque ya no es significativo. No obstante, léase el siguiente apartado 4.2.

                        4.2.-     Que el número presente parte decimal, y en este caso, el cero a la derecha no incorpora valor, pero dependiendo del contexto, podría incorporar información, en cuyo caso sí sería significativo.

                                                Ejemplo: Si el número en cuestión es 123,450 42, y se redondea a 123,450, puede que se esté queriendo decir que el número no es 123,45, sino 123,450, asegurando así que las seis cifras son significativas.

            R5.-     Cuando un número es exacto (no confundir con número entero, aunque también los enteros son exactos), sus cifras significativas son infinitas.

                                                Ejemplo 5.1: El número de lados de un pentágono es 5, ni uno más ni uno menos, y eso se puede expresar como:

                                               5
                                                           5,0
                                                                       5,00
                                                                                   5,000000 …  0000

aunque en este ejemplo no tenga mucho sentido añadir ceros, por tratarse de una operación de conteo, lo que conduce a un número entero. Otra cosa sería si nos refiriéramos a un pentágono regular, con una longitud del lado de valor 5 mm.

                                                Ejemplo 5.2: El valor numérico de la constante de Boltzmann ha sido definido como exacto en la 26ª Conferencia General de Pesas y Medidas, celebrada del 13 al 16 de noviembre de 2018, siendo éste:

                                                                       1,380 649 x 10^-23 J K^-1.

                                               Este número NO es, aproximadamente,

                                                           1,380 649 000 000 001 002 x 10^-23 J K^-1

                                                sino que todas las cifras a la derecha del 9 han de ser ceros, pudiendo ponerse tantos ceros como se deseen.

No obstante todo lo expresado más arriba, se recomienda que la incertidumbre se exprese, a lo sumo, con dos cifras significativas. Por ejemplo, el valor CODATA de la incertidumbre asociada a la constante de Boltzmann en 2018, antes de ser definida con un valor numérico exacto, era de

                                               0,000 0024 x 10^-23 J K^-1,

que tiene dos cifras significativas, y que puede reescribirse como: 2,4 x 10^-29 J K^-1.

Continuando con la expresión del número que representa el

valor de la magnitud, es de aplicación todo lo expuesto más arriba, pero hay que ser cautos para no mantener más cifras significativas que aquellas que aportan información dentro del intervalo que define la incertidumbre. Por ejemplo, si el resultado de una medición es 1,234 V, con una incertidumbre asociada de 0,1 V, las cifras 3 y 4 finales carecen de significado.

Entonces, surge la pregunta: ¿se pueden eliminar y expresar el resultado como 1,2 V e igual incertidumbre de 0,1 V?  Si 1,234 es un valor que expresa el resultado de la medición, lo lógico es expresar sólo 1,2, pero si ese resultado 1,234 va a ser de aplicación para cálculos posteriores, es evidente que 1,234 es mejor estimador del resultado previo o parcial que 1,2. En otras palabras, que el redondeo y la eliminación de cifras no significativas sólo debe aplicarse al resultado final, no en los pasos intermedios.

Por lo tanto, al calcular con números concretos, hay que tener en cuenta las cifras significativas de los argumentos aplicados a la función y actuar con raciocinio para indicar cuántas son las cifras significativas del resultado.

En el caso de una suma (o resta) de dos o más números, las cifras significativas son las mismas que las que presenta el sumando con menor número de cifras significativas.

Por ejemplo, 1,234 + 2,3 + 3,45 = 6,984, pero como el sumando “2,3″ sólo tiene dos cifras significativas, la suma sólo puede tener dos cifras significativas, que tras el redondeo se queda en 7,0. En este ejemplo, además, se puede observar cómo el cero a la derecha del separador decimal sí es significativo. (Ver 4.2 anterior).

Lo mismo ocurre en el caso de multiplicación o división. Así: 1,234 x 2,3 = 2,8382, pero teniendo en cuenta que, de nuevo, el multiplicador “2,3” sólo tiene dos cifras significativas, el resultado de la multiplicación sólo puede tener dos cifras significativas, quedando tras el redondeo en 2,8.

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Una nota precautoria final.

Es muy posible que el lector sea usuario del programa para cálculo simbólico y numérico MATHEMATICA.

En ese programa se usan los conceptos de precision y accuracy de un modo diferente a los que esas palabras significan en el contexto metrológico definido en el Vocabulario Internacional de Metrología (VIM).

En el VIM aparece:

En tanto que en MATEMATICA,

Precision refers to the number of significant figures. MATHEMATICA puede trabajar con dos clases de precisión: la que el usuario desee introduciendo el comando adecuado (arbitrary-precision), o la machine-precision que es la que el hardware-firmware del computador ofrezca (más rápida, pero por lo general menos precisa, porque el ordenador suele utilizar 53 bits efectivos, algo menos de 16 dígitos decimales).

Accuracy refers to the number of correct digits after the decimal point. Así, en el ejemplo 4.2, el número propuesto era 123,450 42, y si el usuario considera que todas estas cifras son correctas le puede indicar al programa que las mantenga como tales (de nuevo, introduciendo el comando adecuado).

MATHEMATICA controla en todo momento la precisión y la exactitud de los resultados que ofrece, de tal modo que si se le piden resultados mejores que los datos de entrada, se niega a ello. Por el contrario, especificando arbitrary-precision, MATHEMATICA mantiene siempre la cantidad de cifras significativas requeridas (In calculations involving arbitrary-precision approximate numbers, the Wolfram Language tracks the propagation of the numerical error).