Juan Meléndez Sánchez
LIR-Infrared Lab. Departamento de Física.
Universidad Carlos III de Madrid

Resumen: Albert Michelson recibió el premio Nobel en 1907 por sus contribuciones a la metrología óptica. Su fama se debe a un experimento que tuvo un resultado negativo: el intento de medir la velocidad de la Tierra respecto del éter, que proporcionó respaldo a la teoría de la Relatividad Especial de Einstein. Pero más allá de esta aplicación bien conocida, su interferómetro tiene unas interesantes raíces en los intentos de medir con precisión la velocidad de la luz de Foucault y otros físicos del siglo XIX, y dio frutos de gran importancia práctica al establecer el principio en el que se basa la espectroscopia de transformada de Fourier, una técnica experimental clave en el espectro infrarrojo conocida generalmente como FTIR. Esta técnica, fruto de la sinergia entre la interferometría de Michelson y el procesado de señal hecho posible con los ordenadores, permite, entre otras cosas, medir a distancia las concentraciones de sustancias químicas en nubes gaseosas contaminantes de composición desconocida, algo sumamente relevante en un caso como el escándalo de las emisiones de vehículos Volkswagen de 2015.

Palabras clave: Interferometría, Relatividad Especial, Transformada de Fourier, Espectroscopia, FTIR, contaminación atmosférica.

Abstract: Albert Michelson received the Nobel Prize in 1907 for his contributions to optical metrology. His fame is due to an experiment that had a negative result: the attempt to measure the velocity of the Earth with respect to the earth, which provided support for Einstein’s special relativity. But beyond this well known application, his interferometer has some interesting roots in the attempts to accurately measure the speed of light by Foucault and other XIXth century physicists, and gave fruits of great practical importance in establishing the principle in which Fourier transform spectroscopy is based. This experimental technique, commonly known as FTIR, is now the workhorse of spectroscopy in the infrared spectrum, and appeared as the fruit of the synergy between Michelson interferometry and signal processing made possible with computers. It allows, among other things, to remotely measure the concentrations of chemical pollutant gaseous clouds of unknown composition, which is extremely relevant in issues as the 2015 Volkswagen emissions scandal.

Keywords: Interferometry, Special Relativity, Fourier Transform Spectroscopy, FTIR, air pollution.

¿Tiene algo que ver la teoría de la Relatividad Especial de Einstein con el reciente escándalo de las emisiones contaminantes [1] de los vehículos Volkswagen? En la ciencia y técnica todo está relacionado, pero en este caso el vínculo es más próximo de lo que pudiera pensarse. Se trata de un curioso y sencillo dispositivo: el interferómetro de Michelson. Su historia es un interesante ejemplo de las imprevisibles relaciones entre ciencia y tecnología y del papel central que en ellas juega la metrología.

Primeros pasos: la medida de la velocidad de la luz

Albert A. Michelson nació en Strzelno, Polonia, en 1852, aunque cuando tenía dos años su familia emigró a los Estados Unidos. El joven Albert estudió para guardiamarina en la academia de Annapolis, donde demostró una gran aptitud para la física y tras su graduación permaneció como profesor [2]. Allí podría haber pasado toda su carrera, pero pronto un acontecimiento cambió el curso de su vida. Todo empezó con una demostración de cátedra [3]. Michelson quería mostrar a sus alumnos cómo se puede medir la velocidad de la luz, y se propuso hacerlo con el experimento que había realizado León Foucault en París entre 1850 y 1862.

En el montaje de Focault [4], la luz que sale de una rendija (s), es reflejada en un espejo (R) y focalizada por una lente sobre un segundo espejo (M) situado lejos, a una distancia h; este reflejo es focalizado de nuevo sobre s, ya que los rayos hacen el mismo camino a la ida y a la vuelta (Figura 1) [4].

Figura 1.

Si inclinamos el primer espejo, cambia el punto del segundo espejo en el que se forma el reflejo, pero los rayos se recombinan de nuevo en s (Figura 2) [4]:

Figura 2.

La razón de que ocurra esto es que el espejo R tiene la misma inclinación para los rayos de ida que para los rayos de vuelta. Pero ¿y si el espejo está rotando? Si R gira con velocidad angular ω, en el viaje de ida y vuelta de la luz su ángulo ha variado en Δθ=ω·2h/c. Cuando un espejo gira un ángulo θ, los rayos reflejados giran 2θ, así que la imagen de la rendija se desplazará 2Δ θ. Midiendo este desplazamiento obtenemos la velocidad de la luz:c=2ωh/Δθ

La exactitud de nuestra medida será mayor cuanto más larga sea la distancia h, pero al aumentarla Foucault encontraba que la imagen desplazada de la rendija iba perdiendo brillo, y sólo podía distinguirla para una distancia máxima de h=20 m. Esto fue suficiente para demostrar que la luz se propaga más lentamente en el agua que en el aire (lo que, según sus palabras, “puso el último clavo en el ataúd de la teoría corpuscular de la luz de Newton”) y obtener un excelente valor para esta velocidad: 298 000 km/s.

Cuando Michelson reprodujo el montaje de Foucault se dio cuenta de cuál era el problema al aumentar h: el tiempo que permanece el reflejo sobre el espejo M se hacía cada vez menor, y la luminosidad de la imagen de la rendija disminuía en la misma proporción. Pensó que si colocaba el espejo R en el foco de la lente podría mantener mucho más tiempo la imagen de la rendija sobre el espejo M (para un espejo de igual diámetro que la lente, el haz permanecería sobre el espejo mientras el centro del pincel luminoso no se saliera de la lente). No hizo exactamente así, para tener una imagen bien enfocada, pero lo consiguió de manera aproximada usando una lente de distancia focal sumamente larga (unos 50 m). Pudo de este modo trabajar con distancias h de casi 700 m, y junto con otras mejoras (como una rotación mucho más precisa del espejo) consiguió en 1879 la medida más exacta nunca realizada hasta entonces de la velocidad de la luz: 299 944 ± 51 km/s. Michelson continuó refinando su montaje toda la vida: en 1926, usando un prisma rotatorio de espejos en vez de uno solo aumentó más aún la luminosidad y, con una distancia h de 35 km, obtuvo el valor de 299 796 ± 4 km/s, sólo 4 km/s mayor que el actual.

Su éxito de 1879 llamó la atención de la comunidad física, y, aconsejado por el astrónomo Simon Newcomb, marchó a Alemania a estudiar durante dos años. Allí, en el laboratorio de Hermann von Helmholtz en Berlín, concibió un dispositivo que podría resolver una de las cuestiones más candentes de la física de entonces: el movimiento de la Tierra respecto del éter.

El misterioso éter

A mediados del siglo XIX la teoría ondulatoria de la luz parecía confirmada sin ningún lugar a dudas. Pero una onda, como el sonido o las olas del mar, necesita un medio para propagarse. Esto llevó a los físicos a postular la existencia de un medio, el éter luminífero, que lo permearía todo, incluso el vacío. La luz sería la propagación de una vibración del éter. Sin embargo, todos los intentos de detectarlo habían fracasado.

Uno de los métodos propuestos se basaba en detectar diferencias de velocidad en la luz, en función de su dirección [5]. Si vamos en una barca, podemos averiguar nuestra velocidad v respecto al agua dejando caer una piedra y midiendo la velocidad de las ondas producidas: si su velocidad respecto del agua es c, veremos que las que se propagan en el sentido en que nosotros nos movemos tienen velocidad c-v (pues vamos a su alcance) y las que se propagan en sentido contrario nos parecerá que tienen velocidad c+v. En general, la velocidad aparente de las ondas medida desde nuestra barca en movimiento dependerá de la dirección, y a partir de esa diferencia podemos saber nuestra velocidad v.

Si ahora sustituimos la barca por la Tierra y las olas por la luz, tenemos un método para medir la velocidad de la Tierra respecto del éter (lo que sería la velocidad absoluta de la Tierra).

Es natural que Michelson, que se había especializado en medir la velocidad de la luz, encontrase atractiva esta idea. Su método medía la velocidad promedio de la luz en una ida y una vuelta entre los espejos R y M, de modo que no sería capaz de distinguir entre los dos sentidos opuestos, como hacíamos en la barca. Pero sí podía distinguir entre una dirección y la perpendicular, por ejemplo. Pronto se dio cuenta, sin embargo, de que mucho mejor que hacer medidas absolutas de velocidad en dos direcciones, era hacer una medida comparativa, con un método basado en las interferencias.

El interferómetro de Michelson

El montaje que Michelson concibió en Berlín, reducido a su mínima expresión, es lo que se muestra en esquemma en la figura 3 [ 6].

Figura 3.

Dos espejos montados en ángulo recto y una lámina semitransparente (“beamsplitter”) colocada en diagonal. Lo que ocurre cuando entra un rayo de luz se muestra en la figura 4:

Figura 4.

La luz procedente de la fuente se divide en un rayo con intensidad ρI₀ que va hacia el espejo M2 y otro con intensidad τI₀ hacia el espejo M1. Cada rayo se refleja en el correspondiente espejo (los suponemos ideales, con reflectancia ρ = 1) y vuelve al beamsplitter (B). Para cada uno de los rayos, hay una parte que va al observador, al que llegan por tanto dos haces, de igual intensidad y que han recorrido caminos diferentes. Supongamos por simplicidad una radiación monocromática. Si la posición de los espejos se ajusta de modo que la longitud de los dos caminos sea la misma, tendremos una interferenciaconstructiva a la salida (que observaremos generalmente con un telescopio); si la diferencia de camino es de media longitud de onda, tendremos una interferencia destructiva: de ahí el nombre de interferómetro aplicado a este montaje.

Cómo medir nuestra velocidad respecto al éter

Hemos supuesto que el interferómetro está en reposo, pero, igual que ocurría con el experimento de Foucault, la situación cambia si está en movimiento. Supongamos que todo el montaje se desplaza hacia la derecha con velocidad v (¿Respecto de quién? Respecto del éter, naturalmente). La situación es análoga al caso de la barca: en el trayecto B→M2 la luz tendría una velocidad c+v, y en el trayecto M2→B su velocidad sería c–v. A simple vista parece que en el trayecto de ida y vuelta el tiempo total no cambiaría, pero una simple cuenta nos muestra que esto no es así. Si la distancia de B a M2 es L,

Como 2L/c es el tiempo que llevaría el recorrido de ida y vuelta para el interferómetro en reposo, vemos que cuando éste está en movimiento el tiempo aumenta. Es un efecto muy pequeño: si suponemos que el Sol está inmóvil respecto del éter, v es la velocidad de la Tierra alrededor del Sol, aproximadamente 30 km/s, mientras que c es 300 000 km/s. El cociente v²/c² vale por tanto 10^-8: la diferencia en tiempos entre reposo y movimiento es una millonésima de un uno por ciento [5].

¿Es posible detectar una diferencia tan minúscula? Supongamos que el trayecto de ida y vuelta es de 3 m. Viajando a 3·10⁸ m/s, la luz tarda 10^-8 s en recorrerlo, y por tanto la diferencia entre el caso de reposo y el de movimiento es tan solo de 10^-8·10^-8 s = 10^-16 s. Para saber si esto es grande o pequeño, tenemos que compararlo con un periodo: una diferencia de medio periodo supondría pasar de interferencia constructiva a destructiva. Si usamos luz amarilla, con λ=600 nm, su periodo es T=λ/c=600·10^-9/3·10⁸=2·10^-15 s. La variación de la duración del recorrido debida al movimiento comparada con este periodo es una fracción 10^-16/2·10^-15 = 5·10^-2, es decir, un 5% de un periodo.

Es un efecto pequeño pero debería ser observable. Naturalmente el interferómetro va siempre montado en la Tierra, así que no podemos comparar el caso de reposo con el de movimiento, pero sí podemos ir girando todo el dispositivo y ver cómo fluctúa la interferencia. En realidad, lo que se observa al mirar por el telescopio es un patrón de franjas de interferencia (puesto que no hay un solo rayo en el interferómetro sino toda una gama de inclinaciones), y el efecto buscado no lo percibiríamos como una variación de intensidad sino como un desplazamiento del patrón de interferencia de un 5 % de la distancia entre franjas, algo en principio observable [5].

Michelson realizó estos experimentos en Berlín [7] y el resultado fue negativo: no se observó ningún corrimiento significativo del patrón de difracción.

Desilusionado por el resultado negativo, Michelson volvió a los EEUU, y se incorporó a la enseñanza en la Case School of Applied Science en Cleveland, Ohio. Mientras, Alfred Potier y Hendrik Lorentz señalaron un error en el análisis de Michelson [8]. Había supuesto que el movimiento respecto del éter sólo afecta al brazo del interferómetro orientado en la dirección del movimiento (el M2-B en nuestro esquema). Pero también afecta al brazo perpendicular, aunque en menor medida. Los cálculos no son difíciles, y llevan a concluir que el efecto del retraso es menor que lo que habíamos previsto: aproximadamente la mitad [5].

Quizá entonces el experimento de Berlín no era suficientemente sensible para detectarlo, pensó Michelson. Se propuso entonces construir un nuevo interferómetro más preciso que el anterior, y emprendió la tarea con su colaborador Edward W. Morley. El nuevo diseño se basaba en el mismo principio que el anterior, pero era mayor, usaba espejos extra para alargar el camino haciendo ir y venir varias veces los rayos, y se colocó en un sótano sobre un enorme bloque de piedra, para minimizar las vibraciones. El conjunto flotaba en mercurio, de modo que era muy fácil girarlo.

Aún así, Michelson y Morley fueron incapaces de detectar ninguna velocidad respecto al éter. Lo que hoy en día es el más famoso resultado negativo de la física experimental se publicó en 1887, en un artículo titulado [9] “On the Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether”.

Inicialmente se intentó mantener el concepto de éter, y autores como George FitzGerald y Hendrik Lorentz propusieron que los objetos se contraían a lo largo de la dirección del movimiento en la medida justa para dar un resultado nulo en el experimento [3]. Esta hipótesis ad hoc se abandonó cuando en 1905 Albert Einstein tomó la audaz decisión de prescindir por completo del éter. La luz no precisa de un medio para propagarse, y el resultado de Michelson-Morley quedaba explicado simplemente porque, puesto que no hay medio, no hay ninguna velocidad que detectar respecto a él; así, la velocidad de la luz es la misma respecto de todos los observadores, independientemente de su estado de movimiento.

Michelson recibió el Premio Nobel de Física en 1907 (fue el primer norteamericano en conseguirlo), pero en la concesión no se mencionaba su experimento más importante, sino sus contribuciones genéricas a las medidas ópticas de precisión (algo parecido ocurrió con Einstein, que recibió el Nobel en 1921 por su explicación del efecto fotoeléctrico: la Relatividad se encontró con resistencias durante muchos años).

Codificando espectros

Michelson era consciente de que las aplicaciones de su interferómetro no se agotaban en el experimento que le dio fama. Una de las posibilidades que reconoció, señalada también por Lord Rayleigh, era la de obtener el espectro de la luz incidente, pero esto no podía hacerse de manera directa sino sólo tras cálculos muy laboriosos.

Para entender la idea, imaginemos el interferómetro ya definitivamente inmóvil, pero hagamos que un espejo, por ejemplo el M1, se desplace con un movimiento uniforme paralelamente al rayo de luz que le llega. Supongamos que para la posición de partida los dos haces tienen la misma la misma longitud (es lo que se llama condición de zero path difference, ZPD): tenemos interferencia constructiva para todas las longitudes de onda. Pero en cuanto el espejo se desplaza esto deja de ser cierto. Si la luz que incide es monocromática con longitud de onda λ, la interferencia volverá a ser constructiva cuando la diferencia de camino entre los dos haces se haya incrementado en λ. Es fácil demostrar que si colocamos un detector en la posición del telescopio, registrará una señal que variará sinusoidalmente según se desplaza el objeto. En concreto (para el caso sencillo en el que en el beamsplitter transmite exactamente el 50% de la intensidad: ρ = τ = 1/2):

siendo x la diferencia de recorridos entre los dos haces. La situación se representa en esquema en la figura 5.

Figura 5:.

Si tenemos luz con un cierto número de longitudes de onda, cada una se comporta independientemente, y produce su correspondiente señal sinusoidal, que se superpone con las demás en el detector. El resultado es una función de x, el interferograma, que contiene codificada la información espectral (figura 6). Pero podemos descodificar esta información recurriendo a una operación matemática.

Figura 6.

En efecto, podemos describir el interferómetro con el espejo móvil como un dispositivo que transforma una entrada (el espectro con una sola longitud de onda, es decir, en términos matemáticos, una función delta de Dirac) en una salida (la función sinusoidal). Hay una operación matemática que realiza justamente esta operación: la transformada de Fourier. Nuestro dispositivo es una realización física de esa operación matemática. Y esta operación puede invertirse, de manera que realizando latransformada de Fourier inversa del interferograma obtenemos el espectro de la luz incidente sobre el interferómetro. Esta es la idea de la espectroscopia de Fourier

El redescubrimiento de la espectroscopia de Fourier

No hay duda de que usar de esta manera el interferómetro para medir espectros era una idea brillante, pero los cálculos necesarios para realizar transformadas de Fourier eran sumamente laboriosos. Michelson incluso construyó un ordenador analógico para realizarlos, y consiguió resolver la estructura fina de las líneas atómicas, pero el procedimiento era complejo y poco práctico, por lo que dejó de utilizarse [10][ 11].

Cuando, tras la segunda guerra mundial, empezaron a estar disponibles los primeros ordenadores, los investigadores no encontraron un motivo para aplicarlos aquí, porque ya disponían de espectrómetros de prisma y de red de difracción, que proporcionaban directamente espectros de alta resolución.

El impulso para desarrollar la técnica vino del trabajo de Peter Fellgett, que en su tesis doctoral de 1951 mostró que, en las condiciones apropiadas, un espectrómetro de transformada de Fourier proporcionaba una importante mejora en la relación señal ruido [10]. En un dispositivo convencional (“monocromador”) el espectro se mide seleccionando con una rendija la parte del espectro que se mide, barriendo secuencialmente las longitudes de onda, mientras que nuestro interferómetro recibe todas las longitudes de onda a la vez y es la operación matemática posterior la que las “desenreda” a posteriori (es lo que se llama “multiplexado óptico”). Si el espectro medido tiene N puntos, un monocromador tiene que hacer N medidas, mientras que el interferómetro hace una sola con una señal N veces de cada una de ellas. Si el ruido no depende del nivel de señal, como suele ocurrir en el infrarrojo, esto representa una ventaja en relación señal-ruido de N^1/2 [12].

Otra importante ventaja respecto de los espectrómetros convencionales es que en éstos para aumentar la resolución hay que disminuir la anchura de la rendija, y por tanto el nivel de señal, mientras que en el interferómetro de Michelson no hay rendija que limite la entrada de luz (la resolución depende de un parámetro totalmente distinto: la longitud del recorrido del espejo). Esta ventaja fue señalada por Pierre Jacquinot en 1954, y puede suponer un factor del orden de 50 en el infrarrojo medio (en torno a 5 µm) [ 12]. Combinada con la ventaja de Felgett (que para espectros de alta resolución aporta un factor de mejora del orden de 40), hace que la espectroscopia de Fourier sea enormemente superior a la convencional en el infrarrojo, donde los niveles de señal suelen ser bajos y la precisión mecánica del sistema no es tan crítica como en el visible (ya que las longitudes de onda son mayores). Esta aplicación preferente en esa zona del espectro es la que ha dado a la técnica su nombre habitual:espectroscopia IR por transformada de Fourier, abreviadamente FTIR.

Pese a su superioridad teórica, la técnica FTIR estuvo confinada durante casi dos décadas a aplicaciones muy sofisticadas, sobre todo en astronomía, debido al alto precio de los ordenadores y a la complicación de los algoritmos para realizar la transformada de Fourier. Un paso decisivo para su popularización fue puramente matemático: el desarrollo en 1965 del algoritmo de transformada rápida de Fourier [13] (Fast Fourier Transform), por los matemáticos James Cooley y John Tukey. Mientras que computar una transformada de Fourier con un algoritmo que usa directamente la definición requiere para N puntos un tiempo proporcional a N², el tiempo para el algoritmo de Cooley-Tukey es proporcional a N·logN. Esta enorme mejora, combinada con el rápido desarrollo de miniordenadores, hizo posible en 1969 el primer equipo comercial de FTIR (el Digilab FTS-14). Desde entonces, el enorme abaratamiento de los costes de computación ha supuesto un desarrollo explosivo de las aplicaciones de la técnica.

FTIR para detección de emisiones contaminantes

Un excelente ejemplo de estas aplicaciones nos lo proporciona el caso que mencionábamos en el título: el escándalo de las emisiones contaminantes de los vehículos de Volkswagen [1]. En septiembre de 2015 salió a la luz que once millones de automóviles con motor Diesel, vendidos entre 2009 y 2015, emitían óxidos de nitrógeno en cantidades mucho mayores de las permitidas por la legislación (en algunos casos, hasta 40 veces por encima del límite legal). Pero, mediante un software fraudulento, eran capaces de burlar las pruebas convencionales, activando un control de emisiones sólo cuando el vehículo está en una ITV.

Un escándalo de estas proporciones ha subrayado dramáticamente algo que ya era admitido por todos los expertos: la insuficiencia de la estrategia actual de control de emisiones, basada en la medida en laboratorio (equivalentemente, ITV) de unos pocos contaminantes prescritos por la ley. Una política eficaz debería medir las emisiones contaminantes en condiciones reales de funcionamiento, y debería poder detectar toda la variedad de contaminantes, no sólo tres o cuatro [14].

Para alcanzar este objetivo en la práctica, no podemos usar para cada contaminante un analizador basado en un principio de medida diferente, como se hace en la actualidad. Debería poder usarse una técnica única, y afortunadamente, esa técnica existe: es la espectroscopia de absorción infrarroja. Todos los gases contaminantes presentan espectros de absorción característicos en el infrarrojo que permiten identificarlos, y, en determinadas condiciones, cuantificar su concentración [15]. La medida de estos espectros puede realizarse a distancia, es decir, se trata de una técnica de teledetección, lo que la hace doblemente interesante en aplicaciones relacionadas con la contaminación. Por ejemplo, con un espectrorradiómetro FTIR (un espectrómetro FTIR acoplado a un telescopio) pueden medirse las emisiones de la chimenea de una planta industrial desde fuera del recinto. El reciente desarrollo de los sistemas de imagen hace mucho más potente este método [16], pues pueden obtenerse mapas con la concentración (y la distribución de temperaturas) de los efluentes gaseosos de una chimenea o un tubo de escape.

La figura 7 muestra un ejemplo para un caso de laboratorio [17], en el que un tubo vertical vierte CO₂ al ambiente. Las imágenes son los mapas de concentración (con más precisión, “densidad de columna”, medida en ppm·m) y temperaturas, y las figuras a la derecha de cada una muestran perfiles detallados a distintas alturas. Los resultados han sido obtenidos con un espectrorradiómetro de imagen FTIR trabajando en el IR medio, donde el CO₂ tiene una intensa banda de emisión-absorción, pero virtualmente todos los gases contaminantes presentan bandas características en este región del espectro, por lo que el instrumento y el método son de aplicación general.

Hay que señalar sin embargo, que la teledetección de contaminantes gaseosos por espectroscopia de imagen FTIR tiene el inconveniente de que, además del alto coste que tienen todavía los equipos y la complejidad del procesado, necesita un tiempo relativamente largo para adquirir una “imagen hiperespectral” (una imagen en la que para cada píxel tenemos el correspondiente espectro IR, de absorción o emisión). Esto hace inaplicable la técnica para medida de las emisiones de vehículos al paso, mientras circulan por una vía. Aun así, los expertos en monitorización de emisiones están abogando por sistemas FTIR más sencillos, que no hacen imagen, y pueden ser colocados a bordo de un automóvil para monitorizar continuamente todos los gases emitidos en recorridos reales [18]. Ya hay sistemas comerciales a la venta, que están siendo empleados en proyectos europeos de calidad del aire.

Figura 7.

En cuanto a la medida de vehículos al paso, las técnicas más prometedoras se basan en técnicas de espectroscopia IR simplificadas, que permiten una respuesta rápida sin necesidad de formar imagen (ver en este mismo número de e-medida,“Sistema RIO. Radar IR – Óptico para la teledetección en circulación real de los vehículos grandes contaminadores”, de Fernando López, Miguel A. Rodríguez y Francisco Cortés).

Conclusión

A menudo se pasa por alto la importancia de los instrumentos y las técnicas de medida en el desarrollo de la ciencia y la tecnología. El caso del interferómetro de Michelson es instructivo para entender, en un ejemplo concreto, la íntima relación de la metrología con, por un lado, la física más básica (el experimento de Michelson-Morley que proporcionó un respaldo decisivo
a la teoría de la Relatividad Especial) y por otro la tecnología más práctica y de mayor relevancia industrial y económica (las medias de control de emisiones de contaminantes).