…es el error de Abbe?

Dr. Emilio Prieto
Centro Español de Metrología
Área de Longitud

La denominación de este error se debe a Ernst Abbe, científico alemán que, a caballo entre los siglos XIX y XX, contribuyó en gran medida al desarrollo de la óptica. Según el principio de Abbe, “el instrumento de medida debe estar construído siempre de manera que la distancia a medir sea continuación, en línea recta, de la escala graduada que constituye la referencia de medida. … En el caso de que el eje de medida y el de la escala no sean coincidentes, sino que se encuentren separados por una cierta distancia, entonces … la longitud leída coincidirá con la longitud medida solo si el sistema móvil se desplaza paralelamente a la escala, sin rotación alguna. Si el sistema sufre algún tipo de rotación entre las posiciones inicial y final, entonces la longitud leída sobre la escala no coincidirá con la longitud medida”.

Así pues, este error amplifica, en forma de error de medida de longitud, los errores angulares inherentes al movimiento de traslación de algunos instrumentos o sistemas de medida. Un calibre pie de rey, por ejemplo, posee un error de Abbe inherente, ya que la pieza, situada entre las bocas de medida, nunca está en línea con la escala de lectura, situada a cierta distancia, d_Abbe, de ella (Fig. 1). De ahí que sea importante la calidad del pie de rey, de forma que el movimiento de traslación de la boca móvil sea lo más paralelo posible a la escala de medida.

En un pie de rey, la pieza a medir se sitúa entre las dos bocas de medida, una fija, solidaria con la escala fija de lectura, y otra móvil, que apoya contra la pieza a medir, para obtener su cota, y que desliza sobre el cuerpo fijo. Para minimizar el error de Abbe en un pie de rey hay que situar la pieza a medir lo más cerca posible de la escala de medida, y cuidar de que la holgura de la boca móvil sea mínima, de forma que ambas bocas se mantengan paralelas entre sí en todo el campo de medida del instrumento. Este error no se da en los micrómetros de exteriores, donde la pieza a medir está alineada con el tope fijo y la cabeza micrométrica de lectura.

Figura 1: Elementos de un calibre de pie de rey.

La separación espacial entre el punto o la línea de medida y la línea o escala de referencia se conoce como distancia de Abbe, d_Abbe.

Otro ejemplo de error de Abbe podríamos encontrarlo en la calibración de un patrón a trazos mediante un sistema láser de medida, cuando el patrón a trazos, cuyos trazos se enrasan con ayuda de un microscopio, no se encuentra en línea con el haz láser de medida. En la Fig. 2 ¹ la distancia de Abbe es de 5 mm en el caso a), mientras que en el caso b) el nuevo montaje cancela dicho error al situar el patrón a trazos a la misma altura que el haz láser.

Figura 2.- Cancelación del error de Abbe en la calibración de un patrón a trazos con un sistema interferométrico láser

Influencia del error de Abbe sobre las mediciones de longitud

El error de Abbe depende del error de guiado (normalmente de cabeceo) de la parte móvil respecto a la fija, así como de la distancia d_Abbe.

Así, si medimos una distancia L con un pie de rey, y la boca móvil oscila en su desplazamiento a lo largo del cuerpo fijo, ésta formará en el momento de la lectura un ángulo α respecto a la boca fija, que dará lugar a un error de lectura (salvo que en la posición inicial la boca móvil formara el mismo ángulo α respecto a la boca fija, en cuyo caso no existiría error de Abbe).

Si contamos con un gráfico o tabla que nos informa del valor angular de la deslizadera en cada punto del recorrido, podremos corregir en cada uno de ellos la lectura, lo cual no suele ser el caso en la utilización de un pie de rey, dado lo pequeño de dichos errores en comparación con la resolución del instrumento, que suele ser de 0,01 mm, en el mejor de los casos.

De ahí que se trabaje con un único valor de α, obtenido a partir de su tangente, calculada de forma conservadora como cociente entre el error total de rectitud (e_rect) de la guía, y el desplazamiento realizado.

Así, por ejemplo, si el error de rectitud o linealidad de un pie de rey es e_rect = 5 µm, y medimos con él una distancia L = 50 mm

Este error de guiado dará lugar a un error en la medida de longitud de valor:

ya que, como dijimos anteriormente, la distancia de Abbe (distancia entre pieza y escala o eje de medida) amplifica el error originado por la existencia del ángulo α entre las posiciones inicial y final de la boca de medida (véase Fig. 3).

Figura 3. Influencia de la oscilación de la boca móvil sobre el error de medida de longitud.

En efecto, la Fig. 3 muestra cómo el error de guiado (cabeceo) de la boca móvil hace que al medir una pieza de longitud P₁, aparezca un error e_L1, causado por el ángulo α₁, que da origen a una lectura L₁, “corta” con relación a P₁, mientras que por el contrario, al medir la pieza de longitud P₂, el error e_L2, causado por el ángulo α₂, mayor que α₁ y de sentido opuesto, genera una lectura L₂, “larga” respecto a P₂

Si suponemos que ambas piezas, P₁ y P₂, se miden a una distancia d_Abbe = 30 mm de la escala, los errores anteriores serían, respectivamente:

Suponiendo por ejemplo que α₁ ≈ 20” y α₂ = ≈ 40”, tendríamos que e_L1 = 0,003 mm y e_L2 = 0,006 mm, valores muy por debajo de la mejor resolución de un pie de rey (0,01 μm), lo que justifica su no corrección habitual.

Evidentemente, en el caso de la calibración del patrón a trazos con el sistema interferométrico de la Fig. 2, estos errores serían inadmisibles, dado que la resolución del sistema interferométrico es de 0,01 μm, y dichos errores serían 300 y 600 veces superiores a dicha resolución. Es decir, habría que utilizar mesas de traslación con errores de cabeceo muy pequeños y valores de d_Abbe nulos o minimizados al máximo; por ejemplo, empleando una mesa con error de cabeceo inferior a 15” y un valor de d_Abbe de 0,2 mm, el error de longitud quedaría reducido a

del orden de la resolución del sistema interferométrico.

Consideración del error de Abbe en el balance de incertidumbres

Independientemente de su corrección o no, el error de Abbe hay tenerlo en cuenta en el balance de incertidumbres, para estimar su contribución a la incertidumbre final de medida.

Como hemos dicho antes, es habitual trabajar con un único valor de α, cuya tangente se calcula como cociente entre el error total de rectitud (e_rect) de la parte móvil y el desplazamiento realizado. En el caso del ejemplo del pie de rey, tendríamos que:

Su contribución a la incertidumbre de medida se estima considerando dicho valor como la amplitud de una distribución rectangular, de límites .

Su incertidumbre típica sería:

de nuevo, despreciable en el caso de un pie de rey, pero no así en una medición interferométrica.

Como conclusión, el valor del error de Abbe puede ser despreciable en unos casos y no en otros, por lo que siempre hay que cuidar el diseño de la configuración de medida para minimizarlo, así como las características de guiado de los elementos móviles y eliminar o reducir al máximo la distancia de Abbe; en el caso de un pie de rey, utilizando aquel de mejor calidad, con mejor ajuste y linealidad de la boca móvil. Por último, siempre debe considerarse su contribución a la incertidumbre de medida.