…la varianza de Allan es el estadístico adoptado para la caracterización de la inestabilidad de relojes de precisión?

Cuando D.W. Allan presenta en el año 1966 su nuevo ingenio para caracterizar la inestabilidad en frecuencia de los patrones atómicos, seguramente no imaginara que se convertiría en la herramienta estadística más reconocida en el ámbito de la metrología del Tiempo y de la Frecuencia, y a su vez con mayor proyección en otras áreas del conocimiento humano: La Varianza de Allan (AVAR), en referencia a su creador, y la Desviación de Allan (ADEV, raíz cuadrada de la AVAR).

Tras su aspecto simple, y desde luego nada a priori alusivo a lo que en realidad entraña, se enmascara un artefacto no solo capaz de caracterizar las inestabilidades y “ruidos” asociados a dispositivos de tiempo y frecuencia. Su potencial se ha puesto de manifiesto con el paso del tiempo, hasta el punto de que un sencillo análisis puede llevar a identificar muchas otras características de una señal sometida a evaluación.

¿A quién se aplica?

La AVAR es un parámetro estadístico aplicable a una serie continua de valores de desviación normalizada de frecuencia, relacionada con la frecuencia a través de la siguiente ecuación:

Siendo ƒ₀ la frecuencia nominal, ƒ(t₀) la frecuencia instantánea en el instante t₀, e y(t₀) la desviación normalizada instantánea de la frecuencia en ese mismo instante.

Así, por ejemplo, si un generador de frecuencia proporciona a la salida 10,000001 MHz, cuando su valor nominal de salida es de 10 MHz, diremos que la desviación normalizada de frecuencia es de (10,000001 MHz −10  MHz) ⁄ 10 MHz = 1 × 10^-7.

La frecuencia instantánea se determina a partir de la variación de la diferencia de fase de la señal, al compararla con otra señal de referencia, en un tiempo infinitesimal y para un instante dado. En la práctica, cualquier instrumento de medida proporciona la frecuencia promediada durante un intervalo de tiempo (ventana temporal o tiempo de integración, que suele denominarse “tau”: τ ), lo que es equivalente a calcular una razón de incrementos: diferencias en fase en dos instantes dados, dividido entre el intervalo de tiempo transcurrido entre ambos instantes ( τ ). El paso al límite cuando τ → 0 llevaría al valor de la frecuencia instantánea, pero tradicionalmente la metrología de tiempo y frecuencia se ha desarrollado sobre la caracterización de la frecuencia promediada, o sin el paso al límite.

La AVAR se aplica por tanto a los valores:

siendo la frecuencia asociada al instante t₀, promediada durante un intervalo de tiempo τ , y x(t) la diferencia de fase de la señal en evaluación, respecto de la referencia.

¿Por qué la AVAR?

El modelo comúnmente usado para caracterizar estadísticamente ciertos datos de medida se basa en la suposición de que los datos son independientes y casuales con distribución Normal o Gaussiana. Bajo estos supuestos, el análisis consiste en la estima del valor medio μ y de la varianza σ² y, eventualmente, del nivel de confianza atribuible a esta última estima. Bajo estas hipótesis, con N datos de medida a disposición, se emplean como buenos estimadores de μ y σ² la media y la varianza muestral respectivamente.

Cuando se desean caracterizar las fluctuaciones de frecuencia de un oscilador, es útil estimar la dispersión de las medidas de frecuencia; es decir: la varianza (o mejor, su raíz cuadrada), porque proporciona una indicación de la repetitividad y consecuentemente de la estabilidad del reloj. Sin embargo, la varianza clásica presenta ciertos inconvenientes al aplicarse a osciladores dado que su valor no siempre converge dependiendo de la naturaleza del ruido predominante presente en estos.

Las señales de salida de los relojes presentan ruidos que van desde el blanco de fase (W PM) hasta el blanco de aceleración o camino aleatorio de frecuencia (RW FM), pasando por el blanco en frecuencia (RW PM = W FM), y los flicker de fase y de frecuencia (FL PM y FL FM). El tipo de ruido predominante puede variar en función del tiempo de integración para un mismo reloj.

Ante la predominancia de determinados tipos de ruidos comunes (FL FM y RW FM), la varianza muestral no converge, dependiendo su valor del tamaño de la muestra N. Ante tales circunstancias, David Allan determina fijar el número de muestras para salvar dicha dependencia, proponiendo reducir la incertidumbre derivada de la estima a partir de dos muestras a costa de promediar todas las posibles varianzas muestrales de dos muestras de frecuencias adyacentes que pudieran calcularse a partir de un número determinado de muestras.

Allan propone partir de una definición equivalente de la varianza clásica:

Haciendo N = 2, resulta de la ecuación anterior:

La varianza muestral, de dos en dos muestras adyacentes, es un mal estimador de la dispersión, pero la esperanza matemática de dicho estadístico (representado mediante los corchetes “ ⟨ ⟩ ”) no solo converge, sino que es un buen estimador de la dispersión para cualquiera de los tipos de ruidos que habitualmente se asocian a señales procedentes de relojes.

Fig. 1 Diagrama Sigma-Tau. Pendientes en Ley de Potencia en el
dominio del tiempo, producidas al usar la ADEV

En la actualidad, la varianza de Allan, conocida como AVAR y reconocida internacionalmente mediante la notación σ_y(τ)² , es el estadístico adoptado para la caracterización de la inestabilidad de relojes. Su valor coincide con el de la varianza clásica cuando el ruido tiene naturaleza blanca de frecuencia (W FM), lo que justifica el uso alternativo de una u otra herramienta cuando se tiene la certeza de dicha predominancia, lo que ocurre habitualmente para tiempos de integración cortos y medios.

Estimación de la AVAR en la práctica

Conocidas las diferencias de fase de una señal x(t) a intervalos de tiempo fundamentales τ, suele calcularse la AVAR para tiempos de integración τ y sus múltiplos, normalmente en décadas (1*τ, 2*τ, 4*τ, 10*τ, 20*τ, etc.) u octavas (1*τ, 2*τ, 4*τ, 8*τ, 16*τ, etc.).

En la práctica, los pares de muestras de frecuencia adyacentes pueden tomarse “sin solapamiento” (definición formal de AVAR, aplicada a una muestra) o “con solapamiento”. La segunda opción es más sencilla de aplicar y utiliza más información de la señal, aunque entraña más dificultad a la hora de estimar la bondad del estadístico debido a la dependencia derivada del solapamiento.

Para los tipos de ruido habitualmente presentes, la AVAR mantiene una dependencia con τ de tipo potencial. Esta es la razón por la que los diagramas “sigma-tau” (ADEV en función del tiempo de integración τ) son de tipo logarítmico-logarítmico: En este tipo de representación, el exponente de τ, característico según qué tipo de ruido predomine en cierto rango de tiempos de integración, se transforma en la pendiente de la curva característica. Cuando el ruido predominante permanece en un rango de valores de τ, la curva se reduce a una recta.

Una familia más que numerosa

La AVAR, y su variante con solapamiento, no son elementos únicos conformando la familia de herramientas matemáticas de la metrología de tiempo y frecuencia: Toda una serie de herramientas complementan a las anteriores y permiten completar el estudio del ruido asociado a una señal: La AVAR modificada (MVAR) introduce, actuando como un filtro software, la manera de discernir entre ruido W PM y FL PM (la AVAR distingue entre todos los tipos de ruido excepto estos dos); la TVAR y su raíz cuadrada TDEV ( σ_x ( τ), o desviación de tiempo) deriva de la MVAR y proporciona una estima de la inestabilidad en tiempo, en términos rms. TOTAVAR, MTOT y TOTTVAR son herramientas que permiten obtener una mejor estima de la estabilidad para largos tiempos de integración (obedecen a los conceptos de AVAR Total, MVAR Total y TVAR Total).

Completan esta familia la AVAR Dinámica (DAVAR), que pone de manifiesto cualquier comportamiento no estacionario en la señal.

Figura 2: El autor de este artículo y David Allan, padre de la varianza de Allan. Mendeleevo (Rusia), Septiembre de 2014.

David W. Allan nació y se crió en una granja en el Estado de Utah, en el seno de una familia en la que él era el tercero de cuatro hijos. Estudió en la Brigham Young University, graduándose en Físicas en 1960. A partir de entonces trabaja en el National Bureau of Standards (NBS – actualmente NIST) en Boulder, CO. Efectúa su trabajo de postgrado en la Universidad de Colorado a la vez que imparte clases de físicas. Finaliza su trabajo de tesis en 1965 y lo publica al año siguiente como parte de una edición especial de IEEE titulada “Frequency Stability”. Esta edición contenía otros excelentes artículos, pero la tesis fue la base de lo que en el mundo se conoce como “Varianza de Allan” (si se explora en Google “Allan variance”, se obtienen más de 50000 resultados). Durante 24 años continuó trabajando en el NBS, en el departamento encargado de generar la hora oficial en Estados Unidos de América. Su actividad no ha cesado, y aún proyecta presentar trabajos para una nueva edición especial de IEEE, prevista para el año 2016 y en la que se conmemora los 50 años de vida de la varianza a la que dio nombre. David sigue siendo un hombre lleno de actividad, que complementa con una intensa vida espiritual que le ha marcado durante toda su vida.

En la actualidad, la varianza de Allan se emplea en la estimación de la inestabilidad en frecuencia en osciladores de precisión, tales como osciladores de cristal, relojes atómicos y láseres estabilizados en frecuencia, en tiempos de integración de 1 segundo o superior. También se usa en la caracterización de la estabilidad a largo plazo de giróscopos (dispositivos que miden o mantienen la orientación), entre los que se encuentran los basados en fibra óptica, o los microelectromecánicos. Por último, en el mundo de las telecomunicaciones también ha encontrado un hueco para identificar la naturaleza de inestabilidades difícilmente caracterizables con otras herramientas.