Medida de la viscosidad de líquidos

José Juan Segovia

M. Carmen Martín

Cesar R.Chamorro

Miguel A. Villamañán

University of Valladolid, TERMOCAL Research Group. School of Industrial Engineering

Resumen: La viscosidad es la propiedad de un fluido que da lugar a fuerzas que se oponen al movimiento relativo de capas adyacentes en el fluido. Es importante señalar que esta propiedad de transporte tiene distinto comportamiento con la presión y la temperatura para los líquidos que para los gases. En el caso de los líquidos, la viscosidad disminuye a medida que aumenta la temperatura, pero aumenta con el incremento de la presión. Sin embargo, la viscosidad de los gases aumenta a medida que se incrementa su temperatura, mientras que es prácticamente independiente de la presión. Existen diferentes técnicas para su medida y la IUPAC clasifica las mismas de acuerdo a su principio de funcionamiento, en este trabajo analizaremos dos de ellas, consideradas actualmente las más relevantes para líquidos a presión. Se mostrará el cálculo detallado de las incertidumbres para un viscosímetro de hilo vibrante y un viscosímetro de caída de cuerpo.

Palabras clave: Viscosidad, viscosímetro de caída de cuerpo, viscosímetro de hilo vibrante, propiedad de transporte, fluido

Abstract: Viscosity is a property of the fluid which opposes the relative motion between the two surfaces of the fluid that are moving at different velocities. This transport property behaves different with pressure and temperature for liquids and for gases. For liquids, viscosity decreases when temperature increases but it increases when pressure increases. However, viscosity of gases increases for higher temperatures but it is nearly independent of pressure. There are different techniques for its measurement and the IUPAC classifies them depending on their working principle. In this paper, we analyze two of them, which are considered the most relevant for pressured liquids. Detail calculations of the uncertainty budget for a vibrating-wire viscometer and for a falling body viscometer are reported.

Keywords: Viscosity, falling-body viscometer, vibrating-wire viscometer, transport property, fluid

1.Introducción

La viscosidad es la propiedad de un fluido que da lugar a fuerzas que se oponen al movimiento relativo de capas adyacentes en el fluido [1]. Es importante señalar que esta propiedad de transporte tiene distinto comportamiento con la presión y la temperatura para los líquidos que para los gases. En el caso de los líquidos, la viscosidad disminuye a medida que aumenta la temperatura, pero aumenta con el incremento de la presión, sin embargo, la viscosidad de los gases aumenta a medida que se incrementa su temperatura, mientras que es prácticamente independiente de la presión.

Es posible establecer una clasificación de los fluidos en función de su comportamiento con respecto a la citada propiedad, pudiendo dividirlos en dos grandes grupos. Los fluidos newtonianos, es decir, fluidos que cumplen la ley de Newton de la viscosidad, que establece una proporcionalidad entre el esfuerzo cortante y la velocidad de deformación (gradiente de velocidad) a través de la viscosidad dinámica. Y los fluidos no newtonianos, que no cumplen con la relación de proporcionalidad establecida por Newton, mostrando otros comportamientos diferentes (pseudoplástico, dilatante, plástico de Bingham…). La mayoría de las técnicas actuales para la medida de la viscosidad de fluidos requieren una calibración previa con fluidos de referencia apropiados para los intervalos de trabajo de presión y temperatura [2]. La investigación en este campo se centra tanto en el desarrollo de nuevas técnicas para la medida de viscosidad que puedan usarse en amplios intervalos de presión y temperatura, como en la búsqueda de materiales de referencia para la calibración de dichas técnicas.

La gran importancia de esta propiedad termofísica y la dificultad para su medida, especialmente a alta presión, ha llevado a multitud de investigadores de todo el mundo a emplear sus esfuerzos durante las últimas décadas en el desarrollo de técnicas experimentales para la determinación de esta propiedad, así como en investigar acerca de nuevos modelos que describiesen adecuadamente el comportamiento real de dichos viscosímetros.

A pesar de todos estos esfuerzos, hoy en día sigue siendo muy complicado cuantificar la viscosidad de f de la medida de esta compleja propiedad, destacando la inexistencia de métodos estrictamente primarios o absolutos para la medida de la viscosidad [4].

2. Breve clasificación de las técnicas de medida

Resulta interesante tener una visión global de las técnicas disponibles para la medida de la viscosidad. Tomando como base la clasificación establecida en la Comisión de Termodinámica de la IUPAC [5] se pueden distinguir los siguientes tipos de técnicas:

• Cuerpo oscilante (rotacionales): dentro de éstos tenemos los viscosímetros con diferentes geometrías, disco oscilante, cilindro oscilante, esfera oscilante… Un ejemplo es el viscosímetro Stabinger SVM 3000, de la casa Anton Paar, donde un rotor, suspendido magnéticamente, gira en el interior de un cilindro a presión atmosférica.
• Capilares: existen distintas variantes de viscosímetros capilares (Ostwald, Cannon-Fenske, Ubbelohde…). Además, existe la posibilidad de adaptar el método capilar para la medida de la viscosidad a alta presión.
• Vibración: podemos distinguir entre el viscosímetro de hilo vibrante y de torsión de cristal, pudiendo diseñarse ambos para presiones elevadas.
• Caída de cuerpo: equipos cuyos cuerpos de caída generalmente son esferas o cilindros. Si bien estos viscosímetros basan su funcionamiento en la caída de dichos cuerpos a través del fluido por un tubo vertical, existe una variante de bola rodante, donde una esfera se deja rodar sobre la superficie de un tubo inclinado. Ambas variantes son aptas para alcanzar alta presión.

Sobre esta clasificación, señalar que los viscosímetros rigen su funcionamiento a través de ecuaciones bien definidas, pero suele ser necesario llevar a cabo una calibración con fluidos de referencia de viscosidad conocida para establecer ciertas correcciones o efectos, no siempre contemplados en las ecuaciones que describen su funcionamiento de forma ideal. En este sentido, es fundamental para estos equipos contar con fluidos de referencia cuyas viscosidades estén bien caracterizadas en un amplio rango de presiones y temperaturas.

En la actualidad no existe ningún método primario para la medida de la viscosidad de líquidos, si somos completamente rigurosos [4], ya que los métodos desarrollados hasta el momento requieren de algún tipo de parámetro obtenido a través de calibración para alcanzar una buena precisión.

En un viscosímetro absoluto, el valor de la viscosidad debe provenir de una ecuación de funcionamiento asociada a un modelo que defina fielmente su funcionamiento, de tal forma que las posibles desviaciones respecto a las condiciones de idealidad supuestas y las incertidumbres de todos los parámetros involucrados en la ecuación pudieran ser perfectamente conocidas y por tanto, evaluadas de forma objetiva.

Este concepto está muy relacionado con la definición que expone el CCQM (Comité Consultatif pour la Quantité de Matière) de los métodos de medida primarios, que son aquéllos que poseen unas mayores cualidades metrológicas y, por tanto, son referencia en lo que a la cadena metrológica se refiere. No obstante, sí que han identificado una serie de métodos “cuasi-primarios” (métodos en los que se dispone de una ecuación de trabajo que caracteriza adecuadamente el funcionamiento del equipo, pero que requieren una determinación de algunos de los parámetros involucrados en dicha ecuación mediante el uso de un patrón conocido), entre los que destacan los de cuerpo oscilante, el hilo vibrante, el de torsión de cristal y el SLS.

Por otro lado, existen los denominados métodos de medida secundarios, entre otros, los viscosímetros capilares o el de bola rodante, cuyos parámetros de calibración no poseen un claro significado físico.

3. Viscosímetro de hilo vibrante

La primera técnica que vamos a describir es un viscosímetro de hilo vibrante, en 1963, Mc Cormick and Dash [6] presentan un nuevo método de medida de viscosidad mediante el uso de un hilo vibrante.

Actualmente este viscosímetro se considera cuasi-absoluto, siendo una de las técnicas que mejor exactitud presenta. Su desarrollo no se encuentra comercialmente.

El principio de medida involucra la distorsión, por la aplicación de un campo magnético externo, de un hilo de sección circular radio R, longitud L (L>>R) y densidad conocida sumergido en un fluido. El viscosímetro funciona en modo forzado, donde las características de las curvas de resonancia para las oscilaciones transversales del hilo están determinadas por la viscosidad y densidad del fluido [7]. El radio R utilizado es normalmente el radio promedio del hilo, que se obtiene de valores conocidos de viscosidad y densidad, para este propósito se usa como punto de referencia estándar la viscosidad del agua a 20°C y una alternativa frecuentemente empleada es utilizar tolueno como patrón [8].

El sensor, que contiene el hilo tensado y fijado en los extremos, se coloca dentro del recipiente de presión, para luego poner un campo magnético constante externo. La circulación de una corriente sinusoidal constante a través del hilo, en combinación con el campo magnético constante, generan la vibración del hilo. En los terminales del hilo se puede medir, con un amplificador lock-in de dos fases, la fuerza electromotriz (FEM) generada a través del hilo vibrante. La FEM está compuesta por dos términos complejos V₁ y V₂, representada por:

\({ V }={ V }_{ 1 }+{ V }_{ 2 }\)

V₁ es la tensión resultante debida a la impedancia eléctrica del hilo fijo y V₂ representa el voltaje inducido producto del movimiento del hilo, siendo

\({ { V }_{ 1 } }=a+ib+icf\)

donde f es la frecuencia, i es el número imaginario y a, b, c son constantes reales que contabilizan la impedancia eléctrica del hilo y absorben los desplazamientos en el amplificador lock-in para asegurar que la señal de voltaje se detecta en el rango más sensible. El voltaje V₂ inducido es proporcional a la velocidad del hilo; es decir, proviene de su movimiento y se expresa con la siguiente ecuación:

\({ V }_{ 2 }=\frac { if\Lambda }{ { f }_{ 0 }^{ 2 }-(1+\beta ){ f }^{ 2 }+({ \beta }^{ ‘ }+2{ \Delta }_{ 0 }){ f }^{ 2 }i }\)

donde Λ es la amplitud, fo es la frecuencia de resonancia en el vacío, ∆o es la amortiguación natural del hilo en vacío, β = kρ/ρs la masa adicional del fluido y β’ la amortiguación debido a la viscosidad del fluido, con: β’ = k’ρ/ρs; Donde k y k’ son funciones de Ω(Ω = 2πfρR²/η), que es una relación de la viscosidad y fo² ≈ (1 + β)fr².

Finalmente, la relación que permite determinar la viscosidad en unidades del SI (mPa.s) es:

\(\eta =\frac { \pi { f }_{ r }{ R }^{ 2 }\rho }{ 6 } \left( \frac { { f }_{ b } }{ { f }_{ r } } \right) ^{ 2 }\left( 1+\frac { \rho _{ s } }{ \rho } \right) ^{ 2 }\)

En la figura 1 se presenta un esquema de detalle del sensor de hilo vibrante, y en la figura 2 los detalles del montaje del sensor en la vasija de presión.

La figura 3 muestra las lecturas del voltaje inducido con las que se determina la frecuencia de resonancia, f_r, y el ancho de banda, f_b.

El cálculo de la incertidumbre se ha realizado a partir de la ecuación de trabajo (4), de modo que la incertidumbre estándar, aplicando la ley de propagación de varianzas se expresa como [9]:

\(u\left( \eta (T,p) \right) =\left[ \left( \frac { \partial \eta }{ \partial { f }_{ r } } \right) ^{ 2 }{ u }^{ 2 }({ f }_{ r })+\left( \frac { \partial \eta }{ \partial R } \right) ^{ 2 }{ u }^{ 2 }(R)+\left( \frac { \partial \eta }{ \partial \rho } \right) ^{ 2 }{ u }^{ 2 }(\rho )+\left( \frac { \partial \eta }{ \partial { f }_{ b } } \right) ^{ 2 }{ u }^{ 2 }({ f }_{ b })+\left( \frac { \partial \eta }{ \partial { \rho }_{ s } } \right) ^{ 2 }{ u }^{ 2 }({ \rho }_{ s }) \right] ^{ \frac { 1 }{ 2 } }\)

\(u\left( \eta (T,p) \right) =\eta \left[ \left( -\frac { 1 }{ { f }_{ r } } \right) ^{ 2 }{ u }^{ 2 }({ f }_{ r })+\left( \frac { 2 }{ R } \right) ^{ 2 }{ u }^{ 2 }(R)+\left( \frac { { \rho }-{ \rho }_{ s } }{ \rho \left( { \rho }+{ \rho }_{ s } \right) } \right) ^{ 2 }{ u }^{ 2 }(\rho )+\left( \frac { 2 }{ { f }_{ b } } \right) ^{ 2 }{ u }^{ 2 }({ f }_{ b })+\left( \frac { 2 }{ { \rho }+{ \rho }_{ s } } \right) ^{ 2 }{ u }^{ 2 }({ \rho }_{ s }) \right] ^{ \frac { 1 }{ 2 } }\)

Aplicando estas expresiones para el cálculo de la incertidumbre de medida de la viscosidad se desglosan los resultados obtenidos en la Tabla 1 con el ejemplo de la medida de viscosidad del tolueno a 20ºC y 140 MPa.

Se puede deducir que las mayores contribuciones a la incertidumbre provienen de las densidades del fluido y el hilo, la calibración del radio del hilo y debido a la alta presión, la incertidumbre de ésta.

4. Viscosímetro de caída de cuerpo

La segunda técnica descrita en este trabajo es un viscosímetro de caída de cuerpo, su funcionamiento se basa en la medida del tiempo de caída de un cuerpo a través de un tubo vertical que contiene el líquido cuya viscosidad se quiere determinar. La técnica de medida ha sido diseñada por el grupo de alta presión del laboratorio de fluidos complejos de la Universidad de Pau (Francia) [10].

El montaje experimental, tal y como se refleja en la Figura 4, corresponde al equipo que se encuentra en el laboratorio TERMOCAL de la la Universidad de Valladolid, se compone de una serie de elementos conectados entre sí entre los que destacan la celda de medida del viscosímetro.

La celda es el elemento fundamental del viscosímetro, y se compone de dos tubos concéntricos, siendo el tubo interior por el que circula el cuerpo. El tubo exterior tiene un diámetro interno ligeramente superior. Ambos, que están comunicados, se llenan con el fluido con la finalidad de que la presión dentro y fuera del tubo interior sea la misma, evitándose así la posibilidad de que exista una diferencia de presión que pueda deformar el tubo por el que cae el cuerpo. Adosadas a dichos tubos se encuentran las bobinas de detección, como se observa en la Figura 5.

La primera bobina se encuentra a suficiente distancia con el objeto de que el cuerpo cilíndrico haya alcanzado su velocidad terminal al paso por ella. El circuito primario de las bobinas está conectado en paralelo y se alimenta con una señal senoidal de 2 V_pp y 450 Hz. El secundario de las bobinas está conectado en oposición de fase (contrafase), por lo que en condiciones normales se obtiene una señal plana al superponerse ambas señales como resultado de anularse las tensiones inducidas. El cuerpo de caída es de acero inoxidable magnético, por lo que a su paso por las bobinas produce una excitación que induce una tensión en el secundario de tal forma que, al no anularse las tensiones inducidas en este caso, la señal que se obtiene permite medir el tiempo de paso entre bobinas. El máximo de la señal coincide con la posición central del cuerpo en su paso por la bobina.

El equipo requiere de calibración y tras diferentes estudios realizados se concluye que la ecuación que mejor refleja la relaciónentre la viscosidad y el tiempo de caída tiene la forma que se expresa a continuación en la ecuación 5 [11]:

\(\eta =a+b\cdot \Delta t\cdot \Delta \rho +c\cdot \left( \Delta t\cdot \Delta \rho \right) ^{ 2 }\)

Donde ∆ρ es la diferencia de densidades entre el cuerpo y el fluido, ∆t es el tiempo de caída, y a, b, c son los parámetros obtenidos por calibración.

La calibración se debe llevar a cabo utilizando fluidos de referencia con viscosidades que cubran todo el intervalo de medida.

El cálculo de la incertidumbre se ha realizado a partir de la ecuación de base (7), aplicando la ley de propagación de varianzas, evaluando previamente mediante el método de Montecarlo las incertidumbres de los coeficientes del ajuste a, b y c, [9].

\({ u }_{ \Delta \rho \cdot \Delta t }(\eta )=\frac { \partial \eta }{ \partial (\Delta \rho \Delta t) } \cdot u(\Delta \rho \Delta t)=(b+2c\Delta \rho \Delta t)\cdot u(\Delta \rho \Delta t)\)

\(u(\Delta \rho \Delta t)=\frac { \partial (\Delta \rho \Delta t) }{ \partial (\Delta \rho ) } \cdot u(\Delta \rho )+\frac { \partial (\Delta \rho \Delta t) }{ \partial (\Delta t) } \cdot u(\Delta t)=\Delta t\cdot u(\Delta \rho )+\Delta \rho \cdot u(\Delta t)\)

En la tabla 2 se presentan las diferentes contribuciones a la incertidumbre para la viscosidad del iso-octano a 20 °C y 100 MPa.

A la vista de los resultados obtenidos, las mayores contribuciones a la incertidumbre se derivan de la incertidumbre del fluido de referencia junto con los coeficientes de la función de calibración. De ahí la importancia de disponer de fluidos de referencia cuya viscosidad de haya determinado con la menor incertidumbre posible.